向量的內積與外積－一生的夢與愛在此奔騰

以下連結引自"丁雲龍老師教學網頁"( http://csm01.csu.edu.tw/0166/ )&"線上維基百科"(http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&variant=zh-tw)

(0)向量簡介 http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math3/51.htm

(1)內積(點積)

http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math3/531.htm

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%82%B9%E7%A7%AF&variant=zh-tw

數學中，點積（也稱為純量積或內積）是一個半雙線性函數 (·) : V × V → F，這裡 V 是域 F 上的滿足一定性質的向量空間。即它將一個向量有序對映射到一個純量（如域上的一個元素）a 和 b 的點積一般寫作 <a, b> 或者<a|b>。

點積可以直觀地定義為 <dl><dd> $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| , |mathbf{b}| cos theta ;$ , </dd></dl>

這裡 |x| 表示 x 的範數（長度），θ 表示兩個向量之間的角度。

注意：點積的形式定義和這個定義不同；在形式定義中，a 和 b 的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個互相垂直的向量的點積總是零。若 a 和 b 都是單位向量（長度為 1 ），它們的點積就是它們的夾角的餘弦。那麼，給定兩個向量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

<dl><dd> $cos{theta} = frac{mathbf{a cdot b}}{|mathbf{a}| , |mathbf{b}|}$ </dd></dl>

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裡，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的純量長度來「標準化」。這樣，這個分數一定是小於等於 1 的，可以簡單地轉化成一個角度值。

需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用於 $mathbb{R}^n$ ( $n le 3$ )。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是

<dl><dd> $left langle mathbf{a}, mathbf{b} right rangle = sum_{i=1}^n a_ib_i$ </dd></dl>

點積可以用來計算合力和功。若 b 為單位向量，則點積即為 a 在方向 b 的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。

(2) 外積(叉積)

http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math3/532.htm

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叉積，即交叉乘積，也被稱為向量積、向量積、外積，是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同，它的運算結果是一個偽向量而不是一個純量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量都垂直。

兩個向量 a 和 b 的叉積寫作 a × b （有時也被寫成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉積可以被定義為： <dl><dd> $mathbf{a} times mathbf{b} = mathbfhat{n} left| mathbf{a} right| left| mathbf{b} right| sin theta$ </dd></dl>

在這裡 θ 表示 a 和 b 之間的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位於這兩個向量所定義的平面上。而 n 是一個與 a 和 b 均垂直的單位向量。

這個定義有一個問題，就是同時有兩個單位向量都垂直於 a 和 b：若 n 滿足垂直的條件，那麼 −n 也滿足。

「正確」的向量由向量空間的方向確定，即按照給定直角坐標系 (i, j, k) 的 左右手定則。若 (i, j, k) 滿足右手定則，則 (a, b, a × b) 也滿足右手定則；或者兩者同時滿足左手定則。